Големина на скоростта, изразяване на пътя и координатите чрез скоростта
За да изразим големината на скоростта използваме, че за малки интервали време пътя
Δ
s
е равен на големината на преместването
Δ
r
→
и пишем:
v
=
v
→
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
r
→
Δ
t
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
r
→
Δ
t
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
s
Δ
t
.
Ако разглеждаме пътя
s
, изминат от материалната точка от началния момент време
t
=
0
до момента
t
като функция на времето
s
=
s
(
t
)
, последната граница съвпада с определението за производна на
s
(
t
)
. Така получаваме, че големината на скоростта е равна на производната на пътя по времето:
v
=
ds
dt
≡
s
'(
t
)
≡
s
.
(
t
)
.
(Във физиката е прието, понякога производната да се означава с точка над символа на величината. Със символа
≡
изразяваме равнозначност на различните означения.)
Ако познаваме зависимостта на големината на скоростта от времето
v
(
t
)
, чрез интегриране може да намерим зависимостта на пътя от времето
s
(
t
)
. Наистина, последната формула
v
=
ds
st
можем да представим във вида:
ds
=
v
(
t
)
dt
.
За да подчертаем, че скоростта е функция на времето вместо само
v
пишем
v
(
t
)
. Сега интегрираме:
∫
0
s
(
t
)
ds
=
∫
0
t
v
(
t
)
dt
.
Интегралът в лявата страна е равен на:
s
(
t
)
, следователно:
s
(
t
)
=
∫
0
t
v
(
t
)
dt
.
Ако познаваме зависимостта на всяка от координатите
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
на скоростта от времето, чрез интегриране може да намерим изменението на координатите
(
x
,
y
,
z
)
на материалната точка за времето между два момента
t
1
и
t
2
. Например за координатата
x
имаме:
v
x
=
dx
dt
или
dx
=
v
x
(
t
)
dt
и като интегрираме
∫
x
1
x
2
dx
=
∫
t
1
t
2
v
x
(
t
)
dt
, левият интеграл дава изменението на координатата
x
:
x
2
−
x
1
=
Δ
x
, следователно:
Δ
x
=
∫
t
1
t
2
v
x
(
t
)
dt
.
Аналогично се получават и измененията на другите две координати:
Δ
y
=
∫
t
1
t
2
v
y
(
t
)
dt
и
Δ
z
=
∫
t
1
t
2
v
z
(
t
)
dt
.
Измененията на трите координата на материалната точка се явяват координати на вектора на преместването
Δ
r
→
, така че получените три формули може да се запишат като една векторна формула:
Δ
r
→
=
∫
t
1
t
2
v
→
(
t
)
dt
.
Ако разглеждаме преместването от начално положение
r
0
→
=
r
→
(
0
)
в момента
t
=
0
, до положението
r
→
=
r
→
(
t
)
в момента
t
, последната формула позволява да се определи закона за движението:
r
→
(
t
)
=
r
0
→
+
∫
t
1
t
2
v
→
(
t
)
dt
.
Copyright© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org