Скорост на материална точка

От началното или средно училище знаем, че скоростта е величина, която характеризира бързината на движение на дадено тяло. Опростеното, най-разпространено определение за скорост е, че скоростта е равна на пътя, който изминава дадено тяло за единица време. На това определение съответства формулата:

v = Δ s Δ t .

където v е скоростта, Δ s - пътя, а Δ t -времето, за което се изминава този път. За приложение във физиката обаче, това определение и формула се оказват недостатъчно точни и трябва да се уточнят и подобрят. Първият недостатък на горната формула е, че когато по нея се пресмята скоростта за различни интервали време Δ t може да се получават различни стойности на скоростта. Тази формула дава представа за бързината на движението за целия интервал време, но не и каква е бързината на движение във всеки момент време. Друг недостатък на посочената формула е, че тя не отразява посоката на движение. Т.е. скоростта трябва да е векторна величина, а по тази формула получаваме скаларна величина. Ето защо във физиката се използват по-точни определения за няколко величини, характеризиращи бързината на движение.

Частното от преместването Δ r → и интервала време Δ t , за който се извършва това преместване, се нарича средна скорост на материалната точка за интервала време Δ t :

v → с р . = Δ r → Δ t

Нека интервалът време Δ t да се прави все по-малък, като, например, крайния момент време t 2 се приближава към началния момент t . Тогава казваме, че интервала време Δ t клони към нула и пишем Δ t → 0 . Когато Δ t → 0 векторът на средната скорост клони към вектор v → , който наричаме моментна скорост или скорост на материалната точка в момент t :

v → = lim Δ t → 0 Δ r → Δ t .

Полученият по тази формула вектор v → има посока по допирателната към траекторията. Неговите три координати ( v x , v y , v z ) се получават по подобни формули, отнасящи се за всяка от координатите на материалната точка:

v x = lim Δ t → 0 Δ x Δ t , v y = lim Δ t → 0 Δ x Δ t , v z = lim Δ t → 0 Δ z Δ t .

Всъщност, предишната векторна формула е равносилна на съвкупността от тези три формули за всяка от координатите на вектора на моментната скорост. Тези формули съвпадат с познатата от математиката формула за производна на функция, следователно, всяка от координатите на вектора на скоростта е първа производна на съответната координата на материалната точка по времето:

v x = dx dt = x '( t ) , y x = dx dt = y '( t ) и v z = dx dt = z '( t ) .

Вместо тези три формули може да запишем само една векторна:

v → = d r → dt = r ' → ( t )

и да кажем, че моментната скорост v → е първа производна по времето на радиус вектора r → на материалната точка. Ето защо, когато е известен закона за движението (зависимостта на радиус вектора от времето), скоростта във всеки момент може да се намери чрез диференциране (намиране на производна).

Единицата за скорост в SI е производна единица без специално наименование:

[ v ] = m s = m s − 1 (чете се: "метър за секунда" или "метър в секунда").

Скоростта на една материална точка в общия случай може да се променя с времето, както по големина така и по посока. Зависимостта на скоростта (моментната скорост) от времето:

v → = v → ( t )

се нарича закон за скоростта. Законът за скоростта може да се представи и чрез зависимостта от времето на трите координати на скоростта, спрямо отправната система:

v x = v x ( t ) , v y = v y ( t ) и v z = v z ( t ) .

Ако разглеждаме пътя s ( t ) , който изминава материалната точка от началния момент време t = 0 до момента t , като функция на времето t , може да се докаже, че големината на моментната скорост е равна на първата производна на пътя по времето:

v = s ' ( t ) .

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред