Движение по окръжност

Когато траекторията на материална точка е крива линия, движението се нарича криволинейно движение. Когато траекторията е окръжност, движението се нарича движение по окръжност.

При движение по окръжност положението на материалната точка в даден момент време t може да се определя еднозначно и чрез ъгъла ϕ , наричан полярен ъгъл. Това е ъгъла между радиус-вектора r → на материалната точка в момент t и оста Ox . Измерва се в радиани ( rad ). При представяне на положението на материалната точка чрез полярния ъгъл законът за движението се представя чрез зависимостта на полярния ъгъл от времето:

ϕ = ϕ ( t )

Между изменението на полярния ъгъл ϕ и пътя, изминаван от материалната точка има връзка. Нека в последователните моменти време t 1 и t 2 , ϕ да има съответни стойности ϕ 1 и ϕ 2 . Следователно, изменението му е: Δ ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 . Нека пътя, изминат от материалната точка за времето от t 1 до t 2 да е Δ s .

Между пътя Δ s и изменението на полярния ъгъл Δ ϕ има връзка:

Δ ϕ = Δ s r

където r е радиусът на окръжността, представляваща траектория на материалната точка.

Величината:

(1) ω с р . = Δ ϕ Δ t

се нарича средна ъглова скорост на материалната точка, за интервала време Δ t , а първата производна на полярния ъгъл по времето:

(2) ω = ϕ ' ( t ) .

се нарича моментна ъглова скорост.

Ъгловата скорост се измерва в единици [ ω ] = rad s = s − 1 .

Зависимостта на моментната ъглова скорост от времето: ω = ω ( t ) се нарича закон за скоростта при движението по окръжност.

Ако в момент време t 1 ъгловата скорост е ω 1 , а в момент време t 2 - ω 2 , изменението й за интервала време Δ t е: Δ ω = ω 2 − ω 1 . Величината:

α с р . = Δ ω Δ t

се нарича средно ъглово ускорение на материалната точка, а първата производна на ъгловата скорост по времето:

α = ω ' ( t )

се нарича моментно ъглово ускорение.

Равномерно движение на материална точка по окръжност

Движението на материална точка по окръжност се нарича равномерно движение по окръжност, ако ъгловата скорост на материалната точка е постоянна величина ω ( t ) = ω 0 = const . Очевидно ъгловото ускорение в този случай е нула.

От (2) се получава обикновено диференциално уравнение: d ϕ dt = ω 0 , след решаване на което (аналогично на извода на закона за движението при равномерно праволинейно движение) се получава закона за движението при равномерното движение по окръжност:

(3) ϕ ( t ) = ϕ 0 + ω 0 t ,

където ϕ 0 е началният полярен ъгъл на материалната точка в момента t = 0 .

При равномерно движение по окръжност времето, за което материалната точка извършва всяка нова обиколка по окръжността, е едно и също. Очевидно след завършване на една обиколка и започване на нова движението се повтаря.

Такива движения, които след определен интервал от време се повтарят многократно се наричат периодични движения. Равномерното движение по окръжност е пример за периодично движение. Най-малкото време след, което едно периодично движение започва да се повтаря се нарича период. Периодът ще означаваме с T . Очевидно периода на равномерното движение по окръжност е равно на времето, за което материалната точка завършва една пълна обиколка по окръжността. За една обиколка материалната точка описва ъгъл Δ ϕ = 2 π и от (1) получаваме:

(4) ω = 2 π T или T = 2 π ω .

Последните две равенства дават връзката между периода T и ъгловата скорост ω при равномерното движение на материална точка по окръжност.

Броят на повторенията на едно периодично движение за единица време се нарича честота и се означава с ν . При равномерно движение по окръжност честотата е равна на броя на обиколките, които извършва материалната точка за единица време. Тъй като продължителността на една обиколка е T , броят на обиколките, извършени за единица време е 1 T , следователно връзката между период и честота е:

(5) ν = 1 T или T = 1 ν .

Като сравним (4) и (5) получаваме:

ω = 2 π ν или ν = ω 2 π - връзка между честотата и ъгловата скорост.

При разглеждане на произволно периодично движение също е удобно да се използва една величина със същото означение, както ъгловата скорост ω при равномерното движение по окръжност, свързана с честотата ν по същата формула: ω = 2 π ν . Тази величина се нарича кръгова честота.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред