Връзка между кинетична енергия и работа на постоянна сила

Да разгледаме движението на материална точка с маса m  под действие на постоянна сила F → , извършено за кратък интервал време Δ t . От втория принцип на динамиката следва:

(1) F → = m a →

Понеже силата е постоянна и ускорението е постоянно и равно на средното ускорение, затова можем да напишем, че:

(2) a → = Δ v → Δ t

Да умножим скаларно двете страни на уравнение (1) с вектора на преместването Δ r → , което материалната точка извършва за малкия интервал време Δ t :

(3) F → . Δ r → = m a . → Δ r → .

Лявата страна на полученото уравнение представлява елементарната работа Δ A , а дясната страна преобразуваме, като използваме (2):

m a → . Δ r → = m Δ v → Δ t . Δ r → = m Δ v → . Δ r → Δ t .

Продължаваме преобразуването като използваме, че: Δ v → = v → 2 − v → 1 , а Δ r → Δ t  е средната скорост за интервала Δ t . Поради това, че ускорението е постоянно средната скорост е равна на средно аритметичната стойност от началната и крайната скорост, следователно: Δ r → Δ t = v → 2 + v → 1 2 и получаваме:

m Δ v → . Δ r → Δ t = m ( v → 2 − v → 1 ) . ( v → 2 + v → 1 ) 2 = m ( v 2 2 − v 1 2 ) 2 = m v 2 2 2 − m v 1 2 2

Така получаваме, че работата на постоянната сила F →  е:

(4) Δ A = m v 2 2 2 − m v 1 2 2 = Ek2 - Ek1 = Δ E k ,

където E k 1 = m v 1 2 2  и E k 2 = m v 2 2 2  представляват стойностите не кинетичната енергия на тялото, съответно, в началото и в края на разглеждания интервал време.

Така виждаме, че изменението на кинетичната енергия Δ E k  е равно на работата Δ A  на силата, действаща върху тялото.

Δ A = Δ E k .

Изводът на тази връзка извършихме за случай на постоянна сила, но изследванията показват, че същата връзка се доказва и за произволна сила и произволен интервал време, както и за сумата от всички сили, действащи на тялото. Следователно:

Изменението на кинетичната енергия на едно тяло е равно на работата на всички сили, действащи върху него.

Copyright^© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org