Динамика на хармонично трептене

Да сравним закона за движението при хармонично трептене:

y = A cos ( ϕ 0 + ω t )

и закона за ускорението:

a = − ω 2 A sin ( ϕ 0 + ω t ) .

Вижда се, че ускорението a е свързано с отклонението y по формулата:

a = − ω 2 y .

Сега да заместим ускорението във втория принцип да динамиката:

F = ma = − m ω 2 y = − ky .

При последното преобразувание въвеждаме ново означение m ω 2 = k за произведението от масата m и квадрата на ъгловата скорост ω , което произведение играе роля на положителен коефициент на пропорционалност k между силата F и отклонението y .

Така виждаме, че силата, която действа върху материална точка, извършваща хармонично трептене е пропорционална на отклонението от равновесното положение и има посока противоположна (поради знака минус) на това отклонение:

F = − ky .

Сила, действаща по този начин се нарича квазиеластична сила. Това е сила, която при всяко отклонение от равновесното положение действа така, че да върне материалната точка в положението на равновесие. Следователно, имаме положение на устойчиво равновесие и хармоничното трептене е движение около положение на устойчиво равновесие, т.е. представлява трептене. Квазиеластичната сила е консервативна сила и материална точка, намираща се в полето на консервативна сила има потенциална енергия:

E p = k y 2 2 .

Кинетичната енергия на една материална точка, която извършва хармонично трептене е:

E k = m v 2 2 = m [ ω A cos ( ϕ 0 + ω t ) ] 2 2 = m ω 2 A 2 2 cos 2 ( ϕ 0 + ω t ) .

а потенциалната:

E p = k y 2 2 = m ω 2 [ A sin ( ϕ 0 + ω t ) ] 2 2 = m ω 2 A 2 2 sin 2 ( ϕ 0 + ω t ) .

Като съберем кинетичната и потенциалната енергия получаваме, че пълната механична енергия е:

E = m ω 2 A 2 2 ,

защото cos 2 ( ϕ 0 + ω t ) + sin 2 ( ϕ 0 + ω t ) = 1 . Вижда се, че в получената формула за пълната механична енергия при хармонично трептене, участват само постоянни величини и следователно тя е постоянна величина. По този начин се убеждаваме, че при хармонично трептене е в сила закона за запазване на енергията.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред