Собствени хармонични трептения

Уравнението на движение на една материална точка, върху която действа само квазиеластична сила F = − kx , както видяхме, се свежда до линейно, обикновено диференциално диференциално уравнение с постоянни коефициенти:

x .. + ω 0 2 x = 0 ,

в което сме въвели означението k m = ω 0 2 . Частни решения на това уравнение търсим във вид на функция: x = e λ t . Като изразим втората производна на тези функция и заместим в диференциалното уравнение получаваме неговото характеристично уравнение:

λ 2 + ω 0 2 = 0 .

Характеристичното уравнение има имагинерни корени:

λ 1 = i ω 0     и     λ 2 = − i ω 0 ,

на които съответстват следните частни решения на диференциалното уравнение:

x 1 ( t ) = e i ω 0 t     и     x 2 ( t ) = e − i ω 0 t .

С помощта на тези частни решения можем да изразим общото решение:

x = C 1 x 1 ( t ) + C 2 x 2 ( t ) = C 1 e i ω 0 t + C 2 e − i ω 0 t ,

където C 1  и C 2  са произволни комплексни константи. Виждаме, че общото решение, което получаваме се изразява с комплексни числа и за да има физичен смисъл трябва от него да се отделят само решенията, които се изразяват с реални числа. Необходимо и достатъчно условие едно комплексно число z  да бъде реално число, е то да бъде равно на своето имагинерно спрегнато: z = z * . Прилагайки това условие върху полученото общо решение получаваме уравнението:

C 1 * e − i ω 0 t + C 2 * e i ω 0 t = C 1 e i ω 0 t + C 2 e − i ω 0 t ,

което може да бъде удовлетворено ако са равни константите пред еднаквите експоненти от двете му страни:

C 1 * = C 2       и     C 2 * = C 1 .

Да представим константата C 1  в тригонометричен вид:

C 1 = a 2 e i α .

Така за константата C 2 получаваме:

C 2 = C 1 * = a 2 e − i α ,

а като заместим с тези константи в общото решение получаваме:

x = a 2 e i α e i ω 0 t + a 2 e − i α e i ω 0 t = a 2 e i ( ω 0 t + α ) + e − i ( ω 0 t + α ) = a   cos   ( ω 0 t + α ) .

(При последното преобразувание използвахме формулата на Ойлер: cos   ϕ = e i ϕ + e − i ϕ 2 .) Следователно, реалната функция на времето, която е общо решение на уравнението на движение на трептяща под действие на квазиеластична сила материална точка е:

x = a   cos ( ω 0 t + α ) .

Трептенe, коeто се извършва по такъв косинусов закон се нарича хармонично трептене. Величините, които характеризират това трептене са двете константи a  и α . a  се нарича амплитуда на трептенето, а α  - начална фаза. ω 0  е кръговата честота на собствените трептения на системата, която се нарича също и собствана чустота на системата. При всяко повторение на това трептене материалната точка се отклонява до едно и също максимално разстояние от равновесното положение, равно на амплитудата, затова се казва още, че трептенето е незатихващо.

Copyright^© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org