Обикновени, линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти

Уравненията (1), (2) и (3), които получихме в предишния въпрос, в математиката спадат към вида на линейните, обикновените диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. В тези уравнения участва неизвестна функция x на времето t , както и производните на тази функция до втори ред включително ( x . и x .. ).

Чрез въвеждане на нови означения, да приведем споменатите уравнения в по-удобен за анализиране и решаване вид. Първо да ги разделим на масата m . Получаваме:

x .. + k m x = 0 ,

x .. + r m x . + k m x = 0 и

x .. + r m x . + k m x = F 0 m cos ω t .

сега да въведем означенията:

r m = 2 β , k m = ω 0 2 и F 0 m = f 0 .

При тези означения уравненията добиват вида:

(1) x .. + ω 0 2 x = 0 ,

(2) x .. + 2 β x . + ω 0 2 x = 0 и

(3) x .. + 2 β x . + ω 0 2 x = f 0 cos ω t .

Уравнения (1) и (2) дясната страна на които е 0, се наричат хомогенни уравнения, а (3), дясната страна на което е различна от нула функция, се нарича нехомогенно уравнение. Всяка конкретна функция, която удовлетворява дадено уравнение се нарича частно решение на това уравнение, а множеството от всички частни решения се нарича общо решение.

В математиката се доказва, че общото решение на едно хомогенно, линейно, обикновено диференциално уравнение от втори ред е сума от произведението на две произволни константи C 1 и C 2 с две функции x 1 ( t ) и x 2 ( t ) , представляващи линейно независими¹ частни решения на уравнението, т.е. има вида:

x = C 1 x 1 ( t ) + C 2 x 2 ( t ) ,

а общото решение на нехомогенно линейно, обикновено, диференциално уравнение е сума от общото решение на съответното му хомогенно уравнение и кое да е негово частно решение. Следователно, намирането на общото решение се свежда до намиране на няколко частни решения.

Частните решения на хомогенно, линейно, обикновено диференциално уравнение от втори ред търсим във вида:

(4) x = e λ t .

където, λ е коефициент, който трябва да се определи така, че тази функция да удовлетворява диференциалното уравнение. Първата и втората производна на тази функция са:

x . = λ e λ t и x .. = λ 2 e λ t .

Като заместим с тези производни и съкратим експоненциалния множител e λ t от уравнение (1) и (2) получаваме:

λ 2 + ω 2 = 0 и

λ 2 + 2 β λ + ω 2 = 0 .

Това са квадратни уравнения относно неизвестния коефициент λ , които трябва да решим за да намерим стойностите на λ , за които функцията (4) е частно решение на хомогенното диференциално уравнение. Тези квадратни уравнения се наричат характеристични уравнения на съответното обикновено диференциално уравнение.

В следващите въпроси ще представим резултатите от решаването на всяко от горните уравнения.

¹ Две функции x 1 ( t ) и x 2 ( t ) са линейно независими ако не съществува различна от нула константа C , за която: x 1 ( t ) = C x 2 ( t ) .

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред