Уравнение на трептяща система

Да разгледаме материална точка, намираща са в състояние на устойчиво равновесие, създавано от действието на консервативни сили. Нека положението на материалната точка около точката на равновесие да може да се отчита само с една величина x . Ако имаме, например, тяло, което виси неподвижно на пружина и може да се движи във вертикална посока, то x може да бъде разстоянието от точката на равновесие, взето с положителен или отрицателен знак, в зависимост от посоката на отклонение. Ако разглеждаме махало (тяло окачено на тънка неразтеглива нишка), x  може да бъде положителния или отрицателен ъгъл на отклонение от вертикалното положение и т.н. Поради това, че силите са консервативни материалната точка притежава потенциална енергия E p ( x ),  чиято стойност зависи само от координатата x .

Ако материалната точка е неподвижна в положението на устойчиво равновесие тя има най-малка стойност на пълната механична енергия, защото тогава кинетичната енергия е нула и има само потенциална енергия. За да се отклони от положението на устойчиво равновесие върху точката трябва да въздейства външна сила, работата на която отива за увеличаване на пълната механична енергия. Следователно, отклонението от положението на устойчиво равновесие неизбежно означава увеличаване на енергията. В точките на крайно отклонение, в които материалната точка сменя посоката на движение, скоростта е нула и в тези точки пълната механична енергия е равна само но потенциалната енергия. Очевидно колкото по-голямо отклонение от положението на равновесие трябва да се предизвика, толкова по-голяма работа трябва да се извърши и следователно по-голяма потенциална енергия трябва да получи материалната точка. Така стигаме до извода, че в положение на устойчиво равновесие потенциалната енергия има минимум.

Както е известно от курса по математика, ако една функция има първа и втора производна, в точка на минимум първата производна на функцията е нула, а втората производна е положителна. За потенциалната енергия, освен това можем да приемем, че и стойността й в точката на устойчиво равновесие е нула. Най-простата функция имаща такива свойства, която може да изрази потенциалната енергия на материална точка около положението на устойчиво равновесие е квадратичната функция от вида:

E p = k x 2 2 ,

където k  е положителен коефициент.

Консервативната сила, която действа на материалната точка в този случай е:

F = − d E p dx = − kx . Т.е.: F = − kx .

Както се вижда, поради знака минус тази сила има посока противоположна на отклонението от положението на равновесие, а големината й е правопропорционална на това отклонение x . Сила с такова свойство се нарича квазиеластична сила.

Да заместим във втория принцип на динамиката F = ma  ускорението a  с втората производна на координатата по времето x .. , силата с − kx  и да прехвърлим всички събираеми в едната страна. Получаваме следното най-просто уравнение на движение за трептяща система:

(1)      m x .. + kx = 0 .

Това е уравнение на движение на една идеална система, в която действа само консервативната квазиеластична сила. Закона за запазване на механичната енергия в тази система се спазва точно. Квазиеластичната сила се явява вътрешна сила и извършваните само под нейно действие трептения се наричат собствени трептения на системата.

Нека освен квазиеластичната сила върху разглежданата материална точка да действа и сила на триене, която е насочена винаги обратно на посоката на движение и е пропорционална по големина на скоростта, т.е. може да се изрази с формулата:

F т = − rv = − r x . ,

в която r  е положителен коефициент. В този случай във втория принцип на динамиката трябва да заместим със сумата от двете сили F + F т = − kx − r x .  и затова получаваме следното уравнение на движение на трептяща система, в която действа и сила на триене:

(2)      m x .. + r x . + kx = 0 .

Нека върху разглежданата материална точка да действа и външна сила, която зависи само от времето F вн = f ( t ) . В този случай като заместим във втория принцип на динамиката със сумата от трите сили: F + F т + F вн = − kx − r x . + f ( t ) , получаваме следното уравнение на движение:

(3)      m x .. + r x . + kx = f ( t ) .

В този случай вида на движението на системата (дали е периодично или друго) се определя от зависимостта на външната сила от времето f ( t ) . В случаите, когато тази зависимост е периодична функция, движението на материалната точка също може да е периодично и да представлява вид трептене, което се нарича принудено трептене. Силата, създаваща принудено трептене може да е, например, косинусова функция на времето от вида:

(4)      f ( t ) = F 0 cos   ω t .

В следващите въпроси ще видим как се решават написаните уравнения (1), (2) и (3), и по-специално, решението на (3) ще разгледаме в случай на периодична външна сила от вида (4).

Copyright^© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org