Връзка между потенциала и интензитета на електричното поле

Нека електричен заряд q да извършва малко преместване Δ r → в електрично поле с интензитет E → . Понеже преместването е малко можем да приемем, че интензитета на полето е един и същ във всички точки, през които преминава заряда при това преместване. Следователно постоянна остава и силата F → = q E → , с която електричното поле действа на заряда и работата на тази сила е:

A = F → . Δ r → = q E → . Δ r → .

От друга страна същата работа може да се изрази с напрежението (потенциалната разлика) между началната и крайната точка:

A = q ( ϕ 1 − ϕ 2 ) = − q ( ϕ 2 − ϕ 1 ) = − q Δ ϕ .

Като приравним двата израза и съкратим на заряда получаваме следната връзка между интензитета и потенциала на електричното поле в близко разположени точки:

E → . Δ r → = − Δ ϕ .

Нека преместването на заряда е по направление на оста x на координатната система. В този случай скаларното произведение на интензитета и преместването се свежда до произведението:

E → . Δ r → = E x Δ x

на координатата E x на вектора на интензитета и изменението Δ x на координатата x . Следователно: E x Δ x = − Δ ϕ . Или:

E x = − Δ ϕ Δ x .

Тази формула е приблизителна и нейната точност зависи от това доколко наистина е малко извършеното преместване така, че да може да се приеме, че при извършването му координатата на интензитета E x остава постоянна. Точна формула ще имаме ако преместването клони към нула: Δ x → 0 , следователно:

E x = − lim Δ x → 0 Δ ϕ Δ x .

Границата в дясната страна на това равенство съвпада с определението за частна производна ∂ ϕ ∂ x на потенциала ϕ по координатата x , следователно може да напишем, че координатата E x на интензитета на електричното поле е равна на взетата със знак минус частна производна на потенциала по координатата x :

E x = − ∂ ϕ ∂ x .

С аналогични разсъждения се получава, че и другите две координата на интензитета на електричното поле са равни на съответните, взети със знак минус частни производни на потенциала:

E y = − ∂ ϕ ∂ y и E z = − ∂ ϕ ∂ z .

Векторът, който ще означаваме с ∇ ϕ (чете се "набла фи") или с grad ϕ , чиито координати са равни на частните производни на потенциала по трите пространствени координати:

∇ ϕ ≡ grad ϕ ≡ ( ∂ ϕ ∂ x , ∂ ϕ ∂ y , ∂ ϕ ∂ z ) .

представлява градиент на потенциала ϕ . Следователно, интензитетът на електричното поле е равен на взетия със знак минус градиент на потенциала:

E → = − ∇ ϕ ≡ − grad ϕ .

Намерената връзка между интензитета и потенциала на електричното поле освен теоретично има и практично значение, защото в много случаи е по-лесно да се пресметне потенциала на електричното поле и след това чрез диференциране може да се определи и интензитета на електричното поле.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред