Интензитет на електричното поле на равномерно зареден цилиндър
Да намерим с помощта на теоремата на Гаус интензитета на електричното поле, създавано от безкраен цилиндър, повърхността на който е равномерно заредена с постоянна плътност на електричния заряд
σ
. От съображения за симетрия следва, че интензитета на електричното поле на този цилиндър във всяка точка от пространството има посока, перпендикулярна на оста на цилиндъра и еднаква големина в точките, разположени на едно и също разстояние от оста
r
.
Да изразим потока на интензитета на електричното поле през повърхността на друг цилиндър, чиято ос съвпада с тази на заредения безкраен цилиндър, височината му е
h
и радиуса на основата:
r
. Векторът на интензитета на електричното поле е успореден на основите на този цилиндър и следователно потока на интензитета през тях е нула. Но вектора на интензитета е перпендикулярен на околна повърхност на същия цилиндър и следователно потока на интензитета през околната му повърхност е равен на произведението от големината на интензитета
E
и лицето на околната повърхност
S
=
2
π
rh
:
Φ
E
=
E
S
=
E
2
π
rh
. Очевидно, потокът на интензитета на електричното поле през цялата повърхност на разглеждания цилиндър е също:
Φ
E
=
E
2
π
rh
.
Зарядът, който се намира във вътрешността на този цилиндър е нула, ако неговия радиус е по-малък от радиуса на заредения цилиндър. По теоремата на Гаус от това следва, че потока на интензитета на електричното поле също трябва да е нула, но тогава от получения израз
E
2
π
rh
=
0
следва, че и интензитета не електричното поле е нула. Следователно, във вътрешността на заредения цилиндър интензитета на електричното поле е нула.
Когато разглеждания цилиндър има радиус
r
по-голям от радиуса
R
на заредения цилиндър, във вътрешността му попада целият заряд намиращ се на повърхността
S'
на затворената в него част от заредения цилиндър. Този заряд е
Q
=
σ
S'
=
σ
2
π
R
h
. Вместо като равномерно разпределен по повърхност с повърхнинната плътност на заряда
σ
, този заряд можем да разглеждаме и като равномерно разпределен по дължината (височината) на цилиндъра. Разпределението на електричен заряд по дължина се описва с линейна плътност на заряда. Ако върху част с дължина
h
на дадено тяло има електричен заряд
Q
отношението:
λ
=
Q
h
се нарича средна линейна плътност на електрическия заряд върху това тяло. В нашия случай заряда на частта от заредения цилиндър с височина
h
има стойност
Q
=
λ
h
, при което
λ
=
σ
2
π
R
. Сега от теоремата на Гаус се получава:
Φ
E
=
E
2
π
r
h
=
Q
ϵ
0
ϵ
=
λ
h
ϵ
0
ϵ
, и следователно:
E
=
1
2
π
ϵ
0
ϵ
λ
r
.
Вижда се, че интензитета на електричното поле извън заредения цилиндър намалява обратно пропорционално на разстоянието
r
от оста му. Освен това във формулата не участва радиуса
R
на заредения цилиндър. Следователно тази формулата остава в сила и за цилиндър с безкрайно малък радиус, т.е. за равномерно заредена безкрайна, права нишка. Може да се каже още, че електричното поле извън един равномерно зареден цилиндър е такова, сякаш се създава от заряди разпределени с постоянна линейна плътност само по оста на цилиндъра.
Copyright© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org