Потенциал на електричното поле на дипол

Два еднакви по големина, но с противоположни знаци точкови заряди, разположени на постоянно разстояние един от друг се наричат електричен дипол или по-кратко само дипол. Електричният дипол е идеализиран модел на някои системи, състоящи се от равни количества отрицателни и положителни заряди, но в които има отместване в пространственото разположение на зарядите с противоположен знак. (Такива системи са, например, някои молекули, които се наричат полярни молекули.) На голямо разстояние електричното поле, създавано от такава система е еднакво с полето, създавано от дипол. Т.е. сякаш всички отрицателни заряди от системата са разположени в една точка, а всички положителни - в друга точка.

Двата противоположни по знак заряди се наричат полюси на дипола - съответно отрицателен и положителен полюс. Правата, върху която лежат полюсите се наричат ос не дипола. Векторът l → , който съединява отрицателния с положителния полюс се нарича рамо на дипола. Средата на рамото се нарича център на дипола. Векторът p → равен на произведението от големината Q на противоположните по знак заряди и рамото l → се нарича диполен момент:

p → = Q l → .

Да изразим потенциала ϕ на електричното поле в точка, разположена на разстояние r от центъра O на дипола, много по-голямо от рамото му l . Т.е. имаме: r ≫ l . Нека r 1 е разстоянието от отрицателния полюс на дипола до разглежданата точка, а r 2 - разстоянието от положителния полюс до същата точка. Потенциалът на полето, създавано от отрицателния полюс е: − Q 4 π ϵ 0 ϵ r 1 2 , а потенциалът на полето, създавано от положителния полюс е: Q 4 π ϵ 0 ϵ r 2 2 . (Виж формула (3) във въпроса за потенциал на електричното поле.) Потенциалът на полето на дипола е сума от тези два потенциала:

ϕ = Q 4 π ϵ 0 ϵ r 2 − Q 4 π ϵ 0 ϵ r 1 = Q 4 π ϵ 0 ϵ 1 r 2 − 1 r 1 = Q 4 π ϵ 0 ϵ r 1 − r 2 r 1 r 2 .

Понеже r 1 и r 2 са много по-големи от рамото на дипола, те малко се различават помежду си, както и от разстоянието r до центъра на дипола. Затова можем да заменим произведението r 1 r 2 с r 2 . Поради същата причина разликата r 1 − r 2 е приблизително равна на проекцията на рамото върху направлението на r : r 1 − r 2 = l cos α , където α е ъгъла между рамото на дипола и направлението на r . Следователно, получаваме: ϕ = Q 4 π ϵ 0 ϵ l cos α r 2 = p 4 π ϵ 0 ϵ cos α r 2 . Или:

ϕ = p 4 π ϵ 0 ϵ cos α r 2 .

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред